問題詳情：
設n為正整數，*A=
．對於*A中的任意元素
和
，記
M（
）=
．
（Ⅰ）當n=3時，若
，
，求M（
）和M（
）的值；
（Ⅱ）當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對於B中的任意元素
，當
相同時，M（
）是奇數；當
不同時，M（
）是偶數．求*B中元素個數的最大值；
（Ⅲ）給定不小於2的n，設B是A的子集，且滿足：對於B中的任意兩個不同的元素
，M（
）=0．寫出一個*B，使其元素個數最多，並説明理由．
【回答】
(1)2,1;(2) 最大值為4;(3) 
【詳解】
（Ⅰ）
，
．
（Ⅱ）考慮數對
只有四種情況：
、
、
、
，
相應的
分別為
、
、
、
，
所以
中的每個元素應有奇數個
，
所以
中的元素只可能為（上下對應的兩個元素稱之為互補元素）：
、
、
、
，
、
、
、
，
對於任意兩個只有
個
的元素
，
都滿足
是偶數，
所以*
、
、
、
滿足題意，
假設
中元素個數大於等於
，就至少有一對互補元素，
除了這對互補元素之外還有至少
個含有
個
的元素
，
則互補元素中含有
個
的元素
與之滿足
不合題意，
故
中元素個數的最大值為
．
（Ⅲ）
，
此時
中有
個元素，下*其為最大．
對於任意兩個不同的元素
，
滿足
，
則
，
中相同位置上的數字不能同時為
，
假設存在
有多於
個元素，由於
與任意元素
都有
，
所以除
外至少有
個元素含有
，
根據元素的互異*，至少存在一對
，
滿足
，
此時
不滿足題意，
故
中最多有
個元素.
知識點：*與函數的概念
題型：解答題
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