如圖，直線y=x﹣1與反比例函數y=的圖象交於A、B兩點，與x軸交於點C，已知點A的座標為（﹣1，m）．（1）...

問題詳情：

如圖，直線y=x﹣1與反比例函數y=的圖象交於A、B兩點，與x軸交於點C，已知點A的座標為（﹣1，m）．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若點P（n，﹣1）是反比例函數圖象上一點，過點P作PE⊥x軸於點E，延長EP交直線AB於點F，求△CEF的面積．

（3）在x軸上是否存在點Q，使得△QBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【考點】反比例函數綜合題．

【分析】（1）將點A的座標代入直線AB的解析式中即可求出m的值，根據點A的座標利用反比例函數圖象上點的座標特徵即可求出k值，從而得出反比例函數解析式；

（2）由直線AB的解析式可求出點C的座標，將點P的座標代入反比例函數解析式中可求出n值，從而可得出點E、F的座標，由此可得出線段EF、CE的長度，再根據三角形的面積公式即可得出結論；

（3）假設存在，設點Q的座標為（a，0）．聯立直線AB與反比例函數解析式可求出點B的座標，由此即可得出線段BC、BQ、CQ的長，根據等腰三角形的*質分BC=BQ、BC=CQ以及BQ=CQ三種情況考慮，由此可得出關於a的方程，解方程即可求出點Q的座標，此題得解．

【解答】解：（1）把A（﹣1，m）代入y=x﹣1，

∴m=﹣2，

∴A（﹣1，﹣2）．

∵點A在反比例函數圖象上，

∴k=﹣1×（﹣2）=2，

∴反比例函數的表達式為：y=．

（2）令y=x﹣1中y=0，則0=x﹣1，解得：x=1，

∴C（1，0）．

把P（n，﹣1）代入y=中，得：﹣1=，

解得：n=﹣2，

∴P（﹣2，﹣1）．

∵PE⊥x軸，

∴E（﹣2，0）．

令y=x﹣1中x=﹣2，則y=﹣2﹣1=﹣3，

∴F（﹣2，﹣3）．

∴CE=3，EF=3，

∴S△CEF=CE•EF=．

（3）假設存在，設點Q的座標為（a，0）．

聯立直線AB和反比例函數解析式得：，

解得：或，

∴B（2，1）．

∴BC==，CQ=|a﹣1|，BQ=．

△QBC是等腰三角形分三種情況：

①當BC=CQ時，有=|a﹣1|，

解得：a1=1+，a2=1﹣，

此時點Q的座標為（1+，0）或（1﹣，0）；

②當CQ=BQ時，有|a﹣1|=，

解得：a3=2，

此時點Q的座標為（2，0）；

③當BC=BQ時，有=，

解得：a4=3，a5=1，

此時點Q的座標為（3，0）或（1，0）（捨去）．

綜上可知：在x軸上存在點Q，使得△QBC是等腰三角形，Q點座標為（1+，0）、（1﹣，0）、（2，0）或（3，0）．

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的座標特徵、反比例函數圖象上點的座標特徵、三角形的面積公式、兩點間的距離公式以及等腰三角形的*質，解題的關鍵是：（1）求出點A的座標；（2）求出點C、E、F的座標；（3）分三種情況找出關於a的方程．本題屬於中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時，根據點的座標利用反比例函數圖象上點的座標特徵求出反比例函數解析式是關鍵．

知識點：反比例函數

題型：解答題