如圖，在平面直角座標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣3交x軸於點A（﹣3，0）、B（1，0），在y軸上有一點E...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣3交x軸於點A（﹣3，0）、B（1，0），在y軸上有一點E（0，1），連接AE．

（1）求二次函數的表達式；

（2）若點D為拋物線在x軸負半軸下方的一個動點，求△ADE面積的最大值；

（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵二次函數y＝ax2+bx﹣3經過點A（﹣3，0）、B（1，0），

∴，

解得：，

∴二次函數解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）設直線AE的解析式為y＝kx+b，

∵過點A（﹣3，0），E（0，1），

∴，

解得：，

∴直線AE解析式為y＝x+1，

如圖，過點D作DG⊥x軸於點G，延長DG交AE於點F，

設D（m，m2+2m﹣3），則F（m， m+1），

∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，

∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF

＝×DF×AG+DF×OG

＝×DF×（AG+OG）

＝×3×DF

＝（﹣m2﹣m+4）

＝﹣m2﹣m+6

＝﹣（m+）2+，

∴當m＝﹣時，△ADE的面積取得最大值為．

（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，

設P（﹣1，n），

∵A（﹣3，0），E（0，1），

∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，

①若AP＝AE，則AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，

∴點P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；

②若AP＝PE，則AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，

∴P（﹣1，﹣1）；

③若AE＝PE，則AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，

∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；

綜上，點P的座標為（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題