在平面直角座標系xOy中，直線y=﹣x+5與x軸、y軸分別交於點A、B(如圖)．拋物線y=ax2+bx(a≠0...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，直線y=﹣x+5與x軸、y軸分別交於點A、B(如圖)．拋物線y=ax2+bx(a≠0)經過點A．

（1）求線段AB的長；

（2）如果拋物線y=ax2+bx經過線段AB上的另一點C，且BC=，求這條拋物線的表達式；

（3）如果拋物線y=ax2+bx的頂點D位於△AOB內，求a的取值範圍．

【回答】

（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0．

【分析】

（1）先求出A，B座標，即可得出結論； （2）設點C（m，-m+5），則BC=|m，進而求出點C（2，4），最後將點A，C代入拋物線解析式中，即可得出結論； （3）將點A座標代入拋物線解析式中得出b=-10a，代入拋物線解析式中得出頂點D座標為（5，-25a），即可得出結論．

【詳解】

（1）針對於直線y=﹣x+5，

令x=0，y=5，

∴B(0，5)，

令y=0，則﹣x+5=0，

∴x=10，

∴A(10，0)，

∴AB==5；

（2）設點C(m，﹣m+5)．

∵B(0，5)，

∴BC==|m|．

∵BC=，

∴|m|=，

∴m=±2．

∵點C在線段AB上，

∴m=2，

∴C(2，4)，

將點A(10，0)，C(2，4)代入拋物線y=ax2+bx(a≠0)中，得，

∴，

∴拋物線y=﹣x2+x；

（3）∵點A(10，0)在拋物線y=ax2+bx中，得100a+10b=0，

∴b=﹣10a，

∴拋物線的解析式為y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，

∴拋物線的頂點D座標為(5，﹣25a)，

將x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=，

∵頂點D位於△AOB內，

∴0＜﹣25a＜，

∴﹣＜a＜0．

【點睛】

此題是二次函數綜合題，主要考查了待定係數法，兩點間的距離公式，拋物線的頂點座標的求法，求出點D的座標是解本題的關鍵．

知識點：一次函數

題型：解答題