問題詳情:
設函數fn(x)=1+x+x2+…+xn,n∈N*.
(1)求*:當x∈(0,+∞)時,ex>fn(x);
(2)若x>0,且ex=fn(x)+xn+1ey,求*:0<y<x.
【回答】
.解:(1)用數學歸納法*:當x∈(0,+∞)時,ex>fn(x);
(i)當n=1時,令f(x)=ex-f1(x)=ex-x-1,則f ′(x)=ex-1>0,x∈(0,+∞)恆成立,所以,f(x)在區間(0,+∞)為增函數,又因為f(0)=0,所以f(x)>0,即ex>f1(x).
(ii)假設n=k時,命題成立,即當x∈(0,+∞)時,ex>fk(x),
則n=k+1時,令g(x)=ex-fk+1(x)=ex-(1+x+x2+…+xk+xk+1),
則g′(x)=ex-(1+x+x2+…+xk)=ex-fk(x)>0,所以g(x)在區間(0,+∞)為增函數,又因為g(0)=0,所以 g(x)>0,x∈(0,+∞)恆成立,即ex>fk+1(x),x∈(0,+∞).所以n=k+1時,命題成立.
由(i)(ii)及歸納假設可知,n∈N*,當x∈(0,+∞)時,ex>fn(x).
(2)由(1)可知ex>fn+1(x),即fn(x)+ xn+1ey>fn(x)+ xn+1ey>1,即y>0.
下面先用數學歸納法*:當x>0,ex<1+x+x2+…+xnex.n∈N*.
(i)當n=1時,令F(x)=1+xex-ex,則F′(x)=xex>0,x∈(0,+∞),所以F(x)在區間(0,+∞)單調增,又F(0)=0,故F(x)>0,即ex<1+xex.
(ii)假設n=k時,命題成立,即當x∈(0,+∞)時,ex<1+x+x2+…+xkex.則
當n=k+1時,令G(x)=1+x+x2+…+xk+xk+1ex-ex,則
G′(x)=1+x+x2+…+xkex+xk+1ex-ex>xk+1ex>0,
所以G(x)在區間(0,+∞)上為增函數,又G(0)=0,故G(x)>0,即
ex<1+x+x2+…+xkex+xk+1ex,x∈(0,+∞).
由(i)(ii)及歸納假設,可知當x∈(0,+∞)時,ex<1+x+x2+…+xkex+xk+1ex,對n∈N*成立.
由ex=1+x+x2+…+xnex+xn+1ey<1+x+x2+…+xn+xn+1ex
所以 ey<exy<x.*畢.
知識點:推理與*
題型:解答題