設f(x)＝lnx＋ax(a∈R且a≠0)．(1)討論函數f(x)的單調*；(2)若a＝1，*：x∈[1，2...

問題詳情：

設f(x)＝ln x＋ax(a∈R且a≠0)．

(1)討論函數f(x)的單調*；

(2)若a＝1，*：x∈[1，2]時，f(x)－3<成立．

【回答】

【解】(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋a，

當a>0時，f′(x)>0，∴函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數．

當a<0時，f′(x)＝，

由f′(x)>0得0<x<－；由f′(x)<0得，x>－.

∴函數f(x)在(0，－)上是增函數；在(－，＋∞)上是減函數．

(2)*：當a＝1時，f(x)＝ln x＋x，

要*x∈[1，2]時，f(x)－3<成立，

只需*xln x＋x2－3x－1<0在x∈[1，2]時恆成立．

令g(x)＝xln x＋x2－3x－1，則g′(x)＝ln x＋2x－2，

設h(x)＝ln x＋2x－2，則h′(x)＝＋2>0，∴h(x)在[1，2]上單調遞增，

∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，

即0≤g′(x)≤ln 2＋2，∴g(x)在[1，2]上單調遞增，∴g(x)≤g(2)＝2ln 2－3<0，

∴當x∈[1，2]時，xln x＋x2－3x－1<0恆成立，即原命題得*．

知識點：導數及其應用

題型：解答題