如圖，AB是△ABC外接圓⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，且BD=AB，∠A=30°，CE⊥AB於E，過C的...

問題詳情：

如圖，AB是△ABC外接圓⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，且BD=AB，∠A=30°，CE⊥AB於E，過C的直徑交⊙O於點F，連接CD、BF、EF．

（1）求*：CD是⊙O的切線；

（2）求：tan∠BFE的值．

【回答】

【考點】切線的判定；解直角三角形．

【專題】綜合題．

【分析】（1）要*CD是⊙O的切線，只要*OC⊥CD即可；

（2）過點E作EH⊥BF於H，設EH=a，利用角之間的關係可得到AC∥BF，從而得到BH=EH=a，BE=2EH=2a，進而可得到BF的長，此時可求得FH的長，再根據正切的公式即可求得tan∠BFE的值．

【解答】（1）*：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠A=30°，

∴BC=，

∵OB=，BD=，

∴BC=OB=BD，

∴BC=，

∴OC⊥CD，

∵OC是半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：過點E作EH⊥BF於H，設EH=a，

∵CF是⊙O直徑，

∴∠CBF=90°=∠ACB，

∴∠CBF+∠ACB=180°，

∴AC∥BF，

∴∠ABF=∠A=30°，

∴BH=EH=a，BE=2EH=2a，

∵CE⊥AB於E，

∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC，

∴∠ECB=∠A=30°，

∴BC=2BE=4a，

∵∠BFC=∠A=30°，∠CBF=90°，

∴BF==4a，

∴FH=BF﹣BH=4a﹣a=3a，

∴tan∠BFE===．

【點評】本題考查的是切線的判定，要*某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再*垂直即可．要熟知直角三角形的*質並熟練掌握三角函數值的求法．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題