問題詳情:
設, .
(1)若,*: 時, 成立;
(2)討論函數的單調*;
【回答】
【*】(1)見解析;(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)*不等式問題,一般轉化為求對應函數最值問題:即的最大值小於零,利用導數先研究函數的單調*,再得最大值,最後*最大值小於零.(2)先求函數導數,根據導函數在定義域上解的情況分類討論,一般分為一次與二次,根有與無,兩根大與小,最後進行小結.
試題解析:
(1)當時, ,要*時成立,由於,
只需*在時恆成立,
令,則,
設, , ,
在上單調遞增, ,即,
在上單調遞增, ,
當時, 恆成立,即原命題得*.
(2)的定義域為, ,
①當時, 解得或; 解得,
所以函數在, 上單調遞增,在上單調遞減;
②當時, 對恆成立,所以函數在上單調遞增;
③當時, 解得或; 解得,
所以函數在, 上單調遞增,在上單調遞減;
④當時, , 在上單調遞增,在上單調遞減.
⑤當, , 在上單調遞增,在上單調遞減.
綜上, , 在上單調遞增,在上單調遞減.
, 在, 上單調遞增,在上單調遞減.
, 在上單調遞增;
, 在, 上單調遞增,在上單調遞減.
點睛:利用導數*不等式常見類型及解題策略(1) 構造差函數.根據差函數導函數符號,確定差函數單調*,利用單調*得不等量關係,進而*不等式.(2)根據條件,尋找目標函數.一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關係,或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題