問題詳情:
已知,為橢圓的左、右頂點,為其右焦點,是橢圓上異於,的動點,且面積的最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的方程及離心率;
(Ⅱ)直線與橢圓在點處的切線交於點,當直線繞點轉動時,試判斷以為直徑的圓與直線的位置關係,並加以*.
【回答】
解:(Ⅰ)由題意可設橢圓的方程為,.
由題意知解得,.
故橢圓的方程為,離心率為.……6分
(Ⅱ)以為直徑的圓與直線相切.
*如下:由題意可設直線的方程為.
則點座標為,中點的座標為.
由得.
設點的座標為,則.
所以,. ……………………………10分
因為點座標為,
當時,點的座標為,點的座標為.
直線軸,此時以為直徑的圓與直線相切.
當時,則直線的斜率.
所以直線的方程為.
點到直線的距離.
又因為 ,所以.
故以為直徑的圓與直線相切.
綜上得,當直線繞點轉動時,以為直徑的圓與直線相切.………14分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:綜合題