如圖，已知二次函數的圖象與x軸交於A、B兩點，D為頂點，其中點B的座標為（5，0），點D的座標為（1，3）．（...

問題詳情：

如圖，已知二次函數的圖象與x軸交於A、B兩點，D為頂點，其中點B的座標為（5，0），點D的座標為（1，3）．

（1）求該二次函數的表達式；

（2）點E是線段BD上的一點，過點E作x軸的垂線，垂足為F，且ED＝EF，求點E的座標．

（3）試問在該二次函數圖象上是否存在點G，使得△ADG的面積是△BDG的面積的？若存在，求出點G的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：

（1）依題意，設二次函數的解析式為y＝a（x﹣1）2+3

將點B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣

∴二次函數的表達式為：y＝﹣（x﹣1）2+3

（2）依題意，點B（5，0），點D（1，3），設直線BD的解析式為y＝kx+b

代入得，解得

∴線段BD所在的直線為y＝x+，

設點E的座標為：（x，x+）

∴ED2＝（x﹣1）2+（﹣x+﹣3）2

EF＝

∵ED＝EF

∴（x﹣1）2+（﹣x+﹣3）2＝

整理得2x2+5x﹣25＝0

解得x1＝，x2＝﹣5（捨去）

故點E的縱座標為y＝＝

∴點E的座標為

（3）存在點G，

設點G的座標為（x，t）

∵點B的座標為（5，0），對稱軸x＝1

∴點A的座標為（﹣3，0）

∴設AD所在的直線解析式為y＝kx+b

代入得，解得

∴直線AD的解析式為y＝

∴AD的距離為5

點G到AD的距離為：d1＝＝

由（2）知直線BD的解析式為：y＝x+，

∴BD的距離為5

∴同理得點G至BD的距離為：d2＝＝

∴＝＝＝

整理得5x﹣32t+90＝0

∵點G在二次函數上，

∴t＝

代入得5x﹣32[﹣（x﹣1）2+3]+90＝0

整理得6x2﹣7x＝0⇒x（6x﹣7）＝0

解得x1＝0，x2＝

此時點G的座標為（0，）或（，）

【點評】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的座標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關係．

知識點：各地中考

題型：綜合題