已知函數f(x)＝x－lnx，g(x)＝.(1)求函數f(x)的單調區間；(2)求*：對任意的m，n∈(0，e...

問題詳情：

已知函數f(x)＝x－lnx，g(x)＝.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)求*：對任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>.(注：e≈2.718 28…是自然對數的底數．)

【回答】

解析　(1)∵f(x)＝x－lnx(x>0)，∴f′．

由f(x)>0，得x>1，由f(x)<0，得0<x<1.

∴f(x)的單調遞增區間是(1，＋∞)，單調遞減區間是(0,1)．

(2)由(1)知，當x∈(0，e]時，f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，e]上單調遞增．

∴當x＝1時，[f(x)]min＝f(1)＝1.

∵g(x)＝(x>0)，∴g′(x)＝(x>0)．

當x∈(0，e]時，g(x)≥0，∴g(x)在(0，e]上單調遞增．

∴當x∈(0，e]時，[g(x)]max＝g(e)＝.

對任意的m，n ∈(0，e]，f(m)－g(n)≥[f(m)]min－[g(n)]max＝1－>.

即*得，對任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>.

知識點：函數的應用

題型：解答題