問題詳情:
橢圓E的中心在原點O,焦點在軸上,其離心率, 過點C(-1,0)的直線與橢圓E相交於A、B兩點,且滿足點C分向量的比為2.
(1)用直線的斜率k( k≠0 ) 表示△OAB的面積;(2)當△OAB的面積最大時,求橢圓E的方程。
【回答】
解:(1)設橢圓E的方程為( a>b>0 ),由e =
∴a2=3b2 故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2
設A(x1,y1)、B(x2,y2),由於點C(-1,0)分向量的比為2,
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由消去y整理並化簡得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0
由直線l與橢圓E相交於A(x1,y1), B(x2,y2)兩點得:
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而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=-,代入⑤得:S△OAB =
(2)因S△OAB=,
若且唯若S△OAB取得最大值
此時 x1 + x2 =-1, 又∵ =-1 ∴x1=1,x2 =-2
將x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴橢圓方程x2 + 3y2 = 5
知識點:高考試題
題型:綜合題