如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，點E在AB的延長線上，∠AED=∠ABC（1）求*...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，點E在AB的延長線上，∠AED=∠ABC

（1）求*：DE與⊙O相切；

（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半徑．

【回答】

【考點】切線的判定．

【分析】（1）連接OD，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代換得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到結論；

（2）連接BD，過D作DH⊥BF於H，由弦且角動量得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF與△FDB都是等腰三角形，根據等腰直角三角形的*質得到FH=BH=BF=1，則FH=1，根據勾股定理得到HD==3，然後根據勾股定理列方程即可得到結論．

【解答】（1）*：連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，

∴∠BOD=∠A，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠BOD+∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，

即OD⊥DE，

∴DE與⊙O相切；

（2）解：連接BD，過D作DH⊥BF於H，

∵DE與⊙O相切，

∴∠BDE=∠BCD，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠AFC=∠DBF，

∵∠AFC=∠DFB，

∴△ACF與△FDB都是等腰三角形，

∴FH=BH=BF=1，則FH=1

，∴HD==3，

在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，

即（OD﹣1）2+32=OD2，

∴OD=5，

∴⊙O的半徑是5．

【點評】本題考查了切線的判定和*質，等腰三角形的判定，直角三角形的*質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題