問題詳情:
已知圓C:與軸交於, (在原點右側)兩點,動點到,兩點的距離之和為定值,且的最小值為−.
(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;
(Ⅱ)過且斜率不為零的直線與點的軌跡交於A,B兩點,若存在點E,使得是與直線的斜率無關的定值,則稱E為“恆點”.問在x軸上是否存在這樣的“恆點”?若存在,請求出該點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【解析】(1)由已知,=4與x軸交於 (−2,0), (2,0),則|| =4,
由題意知|P|+|P|=2a,cos ∠P=
=−1=−1≥−1=1−=−,若且唯若|P|=|P|=a時等號成立,因而=6,由橢圓的定義知,P的軌跡為橢圓,且,分別為其左、右焦點,=−=2,
所以所求軌跡方程為+=1 …6分
(2)如圖,設直線的方程為x= my+2,A(,),B(,),
由,得(m2+3)y2+4my−2=0,
則+=−,=−.(8分)
假設存在這樣的“恆點”E(t,0),
則==(−t,)·(−t,)
=(m+2−t,)·(m+2−t,)
=(m2+1) +(2−t)m(+)+(2−t)2
=+(2−t)2
=.
若是與直線的斜率無關的定值,則其為與m無關的定值,
則3−18=3−12t+10,得t=,
此時定值為()2−6=−,“恆點”為(,0).(12分)
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題