如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交於點A、B，與y軸交於點C，且OA=1，OB=3，頂點為D，對稱軸...

問題詳情：

如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交於點A、B，與y軸交於點C，且OA=1，OB=3，頂點為D，對稱軸交x軸於點Q．

（1）求拋物線對應的二次函數的表達式；

（2）點P是拋物線的對稱軸上一點，以點P為圓心的圓經過A、B兩點，且與直線CD相切，求點P的座標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出點M的座標；如果不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）∵OA=1，OB=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

代入y=﹣x2+bx+c，得

解得　b=2，c=3．

∴拋物線對應二次函數的表達式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖，設直線CD切⊙P於點E．連結PE、PA，作CF⊥DQ於點F．

∴PE⊥CD，PE=PA．　

由y=﹣x2+2x+3，得

對稱軸為直線x=1，C（0，3）、D（1，4）．

∴DF=4﹣3=1，CF=1，

∴DF=CF，

∴△DCF為等腰直角三角形．

∴∠CDF=45°，

∴∠EDP=∠EPD=45°，

∴DE=EP，

∴△DEP為等腰三角形．

設P（1，m），

∴EP2=（4﹣m）2．　

在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2

∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2．

整理，得m2+8m﹣8=0

解得，m=﹣4±2．

∴點P的座標為（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．

（3）存在點M，使得△DCM∽△BQC．

如圖，連結CQ、CB、CM，

∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°，

∴△COB為等腰直角三角形，

∴∠CBQ=45°，BC=3．

由（2）可知，∠CDM=45°，CD=，

∴∠CBQ=∠CDM．

∴△DCM∽△BQC分兩種情況．

當=時，

∴=，解得　DM=．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣=．

∴M1（1，）．

當時，

∴=，解得　DM=3．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1．

∴M2（1，1）．

綜上，點M的座標為（1，）或（1，1）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題