問題詳情:
(2019·湖南中考模擬)在平面直角座標系中,我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數,a≠0)的“衍生直線”;有一個頂點在拋物線上,另有一個頂點在y軸上的三角形為其“衍生三角形”.已知拋物線與其“衍生直線”交於A、B兩點(點A在點B的左側),與x軸負半軸交於點C.
(1)填空:該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ,點A的座標為 ,點B的座標為 ;
(2)如圖,點M為線段CB上一動點,將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折,點C的對稱點為N,若△AMN為該拋物線的“衍生三角形”,求點N的座標;
(3)當點E在拋物線的對稱軸上運動時,在該拋物線的“衍生直線”上,是否存在點F,使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點E、F的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1);(-2,);(1,0);
(2)N點的座標為(0,),(0,);
(3)E(-1,-)、F(0,)或E(-1,),F(-4,)
【解析】
(1)∵,a=,則拋物線的“衍生直線”的解析式為;
聯立兩解析式求交點,解得或,
∴A(-2,),B(1,0);
(2)如圖1,過A作AD⊥y軸於點D,
在中,令y=0可求得x= -3或x=1,
∴C(-3,0),且A(-2,),
∴AC=
由翻折的*質可知AN=AC=,
∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”,
∴N在y軸上,且AD=2,
在Rt△AND中,由勾股定理可得
DN=,
∵OD=,
∴ON=或ON=,
∴N點的座標為(0,),(0,);
(3)①當AC為平行四邊形的邊時,如圖2 ,過F作對稱軸的垂線FH,過A作AK⊥x軸於點K,則有AC∥EF且AC=EF,
∴∠ ACK=∠ EFH,
在△ ACK和△ EFH中
∴△ ACK≌△ EFH,
∴FH=CK=1,HE=AK=,
∵拋物線的對稱軸為x=-1,
∴ F點的橫座標為0或-2,
∵點F在直線AB上,
∴當F點的橫座標為0時,則F(0,),此時點E在直線AB下方,
∴E到y軸的距離為EH-OF=-=,即E的縱座標為-,
∴ E(-1,-);
當F點的橫座標為-2時,則F與A重合,不合題意,捨去;
②當AC為平行四邊形的對角線時,
∵ C(-3,0),且A(-2,),
∴線段AC的中點座標為(-2.5, ),
設E(-1,t),F(x,y),
則x-1=2×(-2.5),y+t=,
∴x= -4,y=-t,
-t=-×(-4)+,解得t=,
∴E(-1,),F(-4,);
綜上可知存在滿足條件的點F,此時E(-1,-)、(0,)或E(-1,),F(-4,)
【點睛】
本題是對二次函數的綜合知識考查,熟練掌握二次函數,幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關鍵,屬於壓軸題
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題