如圖，在平面直角座標系xoy中，直線y=x+2與x軸交於點A，與y軸交於點C，拋物線y=ax2+bx+c的對稱...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xoy中，直線y=x+2與x軸交於點A，與y軸交於點C，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣，且經過A，C兩點，與x軸的另一個交點為點B．

（1）求拋物線解析式．

（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求四邊形PAOC的面積的最大值，並求出此時點P的座標．

（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸於點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點M的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）先求的直線y=x+2與x軸交點的座標，然後利用拋物線的對稱*可求得點B的座標；設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x﹣1），然後將點C的座標代入即可求得a的值；

（2）設點P、Q的橫座標為m，分別求得點P、Q的縱座標，從而可得到線段PQ=m2﹣2m，然後利用三角形的面積公式可求得S四邊形PAOC=S△AOC+S△PAC=2PQ+4，然後利用*法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的座標；

（3）根據兩個角對應相等得兩個三角形相似，可得M1，根據拋物線的對稱*，可得M2，根據對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得關於n的方程，根據解方程，可得*．

【解答】解：（1）y=x+2中，當x=0時，y=2，當y=0時，x=﹣4，

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由拋物線的對稱*可知：點A與點B關於x=﹣對稱，

∴點B的座標為1，0）．

∵拋物線y=ax2+bx+c過A（﹣4，0），B（1，0），

∴可設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

又∵拋物線過點C（0，2），

∴2=﹣4a

∴a=﹣

∴y=﹣x2﹣x+2．

（2）設P（m，﹣m2﹣m+2）．

如圖1，過點P作PQ⊥x軸交AC於點Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ=﹣m2﹣m+2﹣（m+2）

=﹣m2﹣2m，

∵S四邊形PAOC=S△AOC+S△PAC=×4×2+×PQ×4=2PQ+4=﹣m2﹣4m+4=﹣（m+2）2+8，

∴當m=﹣2時，△PAC的面積有最大值是8，

此時P（﹣2，3）．

（3）如圖2，

，

在Rt△AOC中，AC==2，在Rt△BOC中，BC==，

∵AC2+BC2=20+5=25=AB2，

∴∠ACB=90°，CO⊥AB，

∴△ABC∽△AOC∽△CBO，

①若點M在x軸上方時，當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC．

根據拋物線的對稱*，當M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC；

②若點M在x軸的下方時，設N（n，0），則M（n，﹣n2﹣n+2），

∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4，

當=，即===時，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4），

化簡，得n2+2n﹣8=0，

n1=﹣4（舍），n2=2，M（2，﹣3）；

當=，即===2時，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），

化簡，得n2﹣n﹣20=0，

解得：n1=﹣4（捨去），n2=5，

∴M（5，﹣18），

綜上所述：存在點M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題