已知：如圖，直線y=﹣x+2與x軸交於B點，與y軸交於C點，A點座標為（﹣1，0）．（1）求過A、B、C三點的...

問題詳情：

已知：如圖，直線y=﹣x+2與x軸交於B點，與y軸交於C點，A點座標為（﹣1，0）．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式．

（2）在直線BC上方的拋物線上有一點D，過D作DE⊥BC於E，作DF∥y軸交BC於F，求△DEF周長的最大值．

（3）在滿足第②問的條件下，在線段BD上是否存在一點P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出點P的座標；若不存在，説明理由．

【回答】

解：（1）直線y=﹣x+2與x軸交於B（2，0），與y軸交於C點（0，2），

設過A、B、C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的座標代入，

∴a=﹣1，b=1，c=2，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2，

（2）設D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），

∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

所以x=1時，DF最大=1，

∵OB=OC，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∵DE⊥BC，DF∥y軸，

∴△DEF為等腰直角三角形，

∴△DEF周長的最大值為1+

（3）如圖，

當△DEF周長最大時，D（1，2），F（1，1）．延長DF交x軸於H，作PM⊥DF於M，

則DB=，DH=2，OH=1

當∠DFP=∠DBC時，△DFP∽△DBF，

∴，

∴DP=，

∴=，

∴PM=，DM=，

∴P點的橫座標為OH+PM=1+=，

P點的縱座標為DH﹣DM=2﹣=，

∴P（，）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題