小波在複習時，遇到一個課本上的問題，温故後進行了*作、推理與拓展．（1）温故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC...

問題詳情：

小波在複習時，遇到一個課本上的問題，温故後進行了*作、推理與拓展．

（1）温故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC於點D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點P，N分別在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的邊長．

（2）*作：能畫出這類正方形嗎？小波按數學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行*作：如圖2，任意畫△ABC，在AB上任取一點P'，畫正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC邊上，N'在△ABC內，連結BN'並延長交AC於點N，畫NM⊥BC於點M，NP⊥NM交AB於點P，PQ⊥BC於點Q，得到四邊形PPQMN．小波把線段BN稱為“波利亞線”．

（3）推理：*圖2中的四邊形PQMN是正方形．

（4）拓展：在（2）的條件下，在*線BN上截取NE＝NM，連結EQ，EM（如圖3）．當tan∠NBM＝時，猜想∠QEM的度數，並嘗試*．

請幫助小波解決“温故”、“推理”、“拓展”中的問題．

【回答】

【分析】（1）理由相似三角形的*質構建方程即可解決問題．

（2）根據題意畫出圖形即可．

（3）首先*四邊形PQMN是矩形，再*MN＝PN即可．

（4）*△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解決問題．

【解答】（1）解：如圖1中，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得PN＝．

（2）能畫出這樣的正方形，如圖2中，正方形PNMQ即為所求．

（3）*：如圖2中，

由畫圖可知：∠QMN＝∠PQM＝∠NPQ＝∠BM′N′＝90°，

∴四邊形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，

∴△BN′M′∽△BNM，

∴＝，

同理可得：＝，

∴＝，

∵M′N′＝P′N′，

∴MN＝PN，

∴四邊形PQMN是正方形．

（4）解：如圖3中，結論：∠QEM＝90°．

理由：由tan∠NBM＝＝，可以假設MN＝3k，BM＝4k，則BN＝5k，BQ＝k，BE＝2k，

∴＝＝，＝＝，

∴＝，

∵∠QBE＝∠EBM，

∴△BQE∽△BEM，

∴∠BEQ＝∠BME，

∵NE＝NM，

∴∠NEM＝∠NME，

∵∠BME+∠EMN＝90°，

∴∠BEQ+∠NEM＝90°，

∴∠QEM＝90°．

【點評】本題屬於四邊形綜合題，考查了正方形的*質和判定，相似三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：各地中考

題型：綜合題