如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過直線y=﹣x+3與座標軸的兩個交點A、B，與x軸的另一個交點為C，頂點為D...

問題詳情：

如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過直線y=﹣x+3與座標軸的兩個交點A、B，與x軸的另一個交點為C，頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）畫出拋物線的圖象；

（3）在x軸上是否存在點N使△ADN為直角三角形？若存在，求出點N的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）將x=0代入AB的解析式y=﹣x+3得：y=3，

∴B（0，3）．

將y=0代入AB的解析式y=﹣x+3得：﹣x+3=0，

解得x=3，

即A（3，0）．

將點A和點B的座標代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）列表：

拋物線的圖象如下：

（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

①當∠DNA=90°時，如圖所示：

∵∠DNA=90°時，

∴DN⊥OA．

又∵D（1，4）

∴N（1，0）．

∴AN=2．

∵DN=4，AN=2，

∴AD=2．

②當∠N′DA=90°時，則∠DN′A=∠NDA．

∴=，

即=，

解得：AN′=10．

∵A（3，0），

∴N′（﹣7，0）．

綜上所述，點N的座標為（1，0）或（﹣7，0）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題