問題詳情:
已知關於x的方程(k-1)x2+(2k-1)x+2=0.
(1)求*:無論k取任何實數時,方程總有實數根;
(2)當拋物線y=(k-1)x2+(2k-1)x+2圖象與x軸兩個交點的橫座標均為整數,且k為正整數時,若P(a,y1),Q(1,y2)是此拋物線上的兩點,且y1>y2,請結合函數圖象確定實數a的取值範圍.
(3)已知拋物線y=(k-1)x2+(2k-1)x+2恆過定點,求出定點座標
【回答】
(1)*見解析;(2)a>1或a<﹣4;(3)(0,2)、(﹣2,0).
【分析】
(1)分類討論:該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況.當該方程為一元二次方程時,根的判別式△≥0,方程總有實數根;
(2)通過解(k-1)x2+(2k-1)x+2=0得到k=2,由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2,結合圖象回答問題.
(3)根據題意得到(k-1)x2+(2k-1)x+2﹣y=0恆成立,由此列出關於x、y的方程組,通過解方程組求得該定點座標.
【詳解】
(1)*:①當k=1時,方程為x+2=0,所以x=﹣2,方程有實數根,
②當k≠1時,
∵△=(2k-1)2﹣4x(k-1)×2=4k2-12k+9=(2k-3)2≥0,即△≥0,
∴無論k取任何實數時,方程總有實數根
(2)解:令y=0,則(k-1)x2+(2k-1)x+2=0,
(x-2)
解關於x的一元二次方程,得x1=﹣2,x2=,
∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫座標均為整數,且k為正整數,
∴1-k=-1,k=2.
∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2,
由圖象得到:當y1>y2時,a>1或a<﹣4.
(3)依題意得(k-1)x2+(2k-1)x+2﹣y=0恆成立,
即k(x2+2x)-x2-x﹣y+2=0恆成立,得:x2+2x=0;x1=0,y1=2;x2=-2,y2=0
所以該拋物線恆過定點(0,2)、(﹣2,0).
【點睛】
本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關係及二次函數圖象上點的座標特徵,解答(1)題時要注意分類討論.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題