問題詳情:
P、Q、M、N四點都在橢圓x2+=1上,F為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知與共線,與共線,且・=0.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。
【回答】
本小題主要考查橢圓和直線的方程與*質,兩條直線垂直的條件,兩點間的距離,不等式的*質等基本知識及綜合分析能力。
解:如圖,由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦,相交於焦點F(0,1),且PQ⊥MN,直線PQ、MN中至少有一條存在斜率,不妨設PQ的斜率為k,又PQ過點F(0,1),
故PQ方程為y=kx+1
將此式代入橢圓方程得
(2+k2)x2+2kx-1=0
設P、Q兩點的座標分別為(x1,y1),(x2,y2),則
從而 |PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
亦即 |PQ|=
(i)當k≠0時,MN的斜率為,同上可推得
|MN|=
故四邊形面積
S=|PQ|・|MN|
=
=
令,得
因為
當時,u=2,S=,
且S是以u為自變量的增函數,
所以
(ii)當k=0時,MN為橢圓長軸,|MN|=,|PQ|=,
S=|PQ|・|MN|=2.
綜合(i),(ii)知,四邊形PMQN面積的最大值為2,最小值為。
知識點:圓錐曲線與方程
題型:計算題