如圖，拋物線y＝x2－x－2與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，點D與點C關於x軸對稱．(1)求點A、B、C...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝x2－x－2與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，點D與點C關於x軸對稱．

(1)求點A、B、C的座標；

(2)求直線BD的解析式；

(3)在直線BD下方的拋物線上是否存在一點P，使△PBD的面積最大？若存在，求出點P的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：(1)令y＝0，則x2－x－2＝0，

解得x1＝－1，x2＝4，

∴A(－1，0)，B(4，0)，

令x＝0，得y＝－2，

∴C(0，－2)；

(2)∵C，D兩點關於x軸對稱，

∴D(0，2)，

設直線BD的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，

將B、D座標代入可得，

解得，

∴直線BD的解析式為y＝－ x＋2；

(3)存在這樣的點P，使得△PBD的面積最大．

設P(m，m2－m－2)，

如解圖，過點P作PE⊥x軸於點F，與BD交於點E，

第3題解圖

則E點座標為(m，－ m＋2)，

∴PE＝(－ m＋2)－(m2－m－2)＝－ m2＋m＋4，

∴S△PBD＝S△PDE＋S△PEB

＝PE·OF＋PE·BF

＝PE·OB

＝×(－m2＋m＋4)×4

＝－m2＋2m＋8

＝－(m－1)2＋9，

當m＝1時，S△PBD取得最大值，最大值為9，

此時m2－m－2＝－3，

∴P(1，－3)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題