如圖在四稜錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面,且,設、分別為、的中點.(Ⅰ)求*://平面;(Ⅱ)求*:面平...

問題詳情：

如圖在四稜錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面,且,設、分別為、的中點.

(Ⅰ) 求*: //平面;

(Ⅱ) 求*:面平面;

(Ⅲ) 求二面角的正切值.

【回答】

法一:(Ⅰ)*:為平行四邊形

連結,為中點,

為中點∴在中//  

且平面,平面   ∴  

(Ⅱ)*:因為面面 平面面  

為正方形,,平面

所以平面 ∴  

又,所以是等腰直角三角形,

且   即  

,且、面   

面  

又面  面面  

(Ⅲ) 【解】:設的中點為,連結,,

則由(Ⅱ)知面,  

,面,,

是二面角的平面角  

中, 

 故所求二面角的正切值為  

法二:如圖,取的中點, 連結,.

∵,  ∴.

∵側面底面,

,   

∴,  

而分別為的中點,∴,

又是正方形,故.

∵,∴,.

以為原點,直線為軸建立空間直線座標系,

則有,,,,,.

∵為的中點, ∴  

(Ⅰ)*:易知平面的法向量為而,

且,   ∴ //平面  

(Ⅱ)*:∵,  ∴,

∴,從而,又,,

∴,而,   

∴平面平面  

(Ⅲ) 【解】:由(Ⅱ)知平面的法向量為.

設平面的法向量為.∵,

∴由可得,令,則,

故∴,

即二面角的餘弦值為,  

所以二面角的正切值為          

知識點：平面向量

題型：綜合題