如圖1，△AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1：y＝x2+x的圖象上，點A的橫座標為﹣4，點B的縱座標...

問題詳情：

如圖1，△AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1：y＝x2+x的圖象上，點A的橫座標為﹣4，點B的縱座標為﹣2．（點A在點B的左側）

（1）求點A、B的座標；

（2）將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△A'OB'，拋物線F2：y＝ax2+bx+4經過A'、B'兩點，已知點M為拋物線F2的對稱軸上一定點，且點A'恰好在以OM為直徑的圓上，連接OM、A'M，求△OA'M的面積；

（3）如圖2，延長OB'交拋物線F2於點C，連接A'C，在座標軸上是否存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似．若存在，請求出點D的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）當x＝﹣4時，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4

∴點A座標為（﹣4，﹣4）

當y＝﹣2時，x2+x＝﹣2

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6

∵點A在點B的左側

∴點B座標為（﹣1，﹣2）

（2）如圖1，過點B作BE⊥x軸於點E，過點B'作B'G⊥x軸於點G

∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2

∵將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△A'OB'

∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°

∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°

∴∠B'OG＝∠OBE

在△B'OG與△OBE中

∴△B'OG≌△OBE（AAS）

∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1

∵點B'在第四象限

∴B'（2，﹣1）

同理可求得：A'（4，﹣4）

∴OA＝OA'＝

∵拋物線F2：y＝ax2+bx+4經過點A'、B'

∴   解得：

∴拋物線F2解析式為：y＝x2﹣3x+4

∴對稱軸為直線：x＝﹣＝6

∵點M在直線x＝6上，設M（6，m）

∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20

∵點A'在以OM為直徑的圓上

∴∠OA'M＝90°

∴OA'2+A'M2＝OM2

∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2

解得：m＝﹣2

∴A'M＝

∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8

（3）在座標軸上存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似．

∵B'（2，﹣1）

∴直線OB'解析式為y＝﹣x

   解得：（即為點B'）

∴C（8，﹣4）

∵A'（4，﹣4）

∴A'C∥x軸，A'C＝4

∴∠OA'C＝135°

∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°

∵A（﹣4，﹣4），即直線OA與x軸夾角為45°

∴當點D在x軸負半軸或y軸負半軸時，∠AOD＝45°，此時△AOD不可能與△OA'C相似

∴點D在x軸正半軸或y軸正半軸時，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如圖2、圖3）

①若△AOD∽△OA'C，則＝1

∴OD＝A'C＝4

∴D（4，0）或（0，4）

②若△DOA∽△OA'C，則

∴OD＝OA'＝8

∴D（8，0）或（0，8）

綜上所述，點D座標為（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）時，以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似．

知識點：各地中考

題型：綜合題