如圖，以x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點A，點B（﹣1，0），與y軸交於點C（0，...

問題詳情：

如圖，以x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點A，點B（﹣1，0），與y軸交於點C（0，4），作直線AC．

（1）求拋物線解析式；

（2）點P在拋物線的對稱軸上，且到直線AC和x軸的距離相等，設點P的縱座標為m，求m的值；

（3）點M在y軸上且位於點C上方，點N在直線AC上，點Q為第一象限內拋物線上一點，若以點C、M、N、Q為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點Q的座標．

【回答】

 【解答】解：（1）∵點A與點B（﹣1，0）關於直線x=1對稱，

∴A（3，0），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，4）代入得a•1•（﹣3）=4，解得a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+x+4；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+p，

把A（3，0），C（0，4）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4；

令對稱軸與直線AC交於點D，與x軸交於點E，作PH⊥AD於H，如圖1，

當x=1時，y=﹣x+4=，則D（1，），

∴DE=，

在Rt△ADE中，AD==，

設P（1，m），則PD=﹣m，PH=PE=|m|，

∵∠PDH=∠ADE，

∴△DPH∽△DAE，

∴=，即=，解得m=1或m=﹣4，

即m的值為1或﹣4；

（3）設Q（t，﹣t2+t+4）（0＜t＜4），

當CM為對角線時，四邊形CQMN為菱形，如圖2，則點N和Q關於y軸對稱，

∴N（﹣t，﹣t2+t+4），

把N（﹣t，﹣t2+t+4）代入y=﹣x+4得t+4=﹣t2+t+4，解得t1=0（捨去），t2=1，此時Q點座標為（1，）；

當CM為菱形的邊時，四邊形CNQM為菱形，如圖3，則NQ∥y軸，NQ=NC，

∴N（t，﹣t+4），

∴NQ=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，

而CN2=t2+（﹣t+4﹣4）2=t2，即CN=t，

∴﹣t2+4t=t，解得t1=0（捨去），t2=，此時Q點座標為（，），

綜上所述，點Q的座標為（1，）或（，）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題