問題詳情:
已知函數f(x)=(k為常數,e=2.718 28…是自然對數的底數),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的單調區間;
(3)設g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)為f(x)的導函數,*:對任意x>0,g(x)<1+e-2.
【回答】
解析 (1)由f(x)=,
得f′(x)=,x∈(0,+∞).
由於曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行,
所以f′(1)=0,因此k=1.
(2)由(1)得f′(x)=(1-x-xlnx),x∈(0,+∞).
令h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),
當x∈(0,1)時,h(x)>0;當x∈(1,+∞)時,h(x)<0.
又ex>0,所以當x∈(0,1)時,f′(x)>0;
當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0.
因此f(x)的單調遞增區間為(0,1),單調遞減區間為(1,+∞).
(3)因為g(x)=(x2+x)f′(x),
所以g(x)=(1-x-xlnx),x∈(0,+∞).
因此,對任意x>0,
g(x)<1+e-2等價於1-x-xlnx<(1+e-2).
由(2)中h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),
所以h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),x∈(0,+∞).
因此,當x∈(0,e-2)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增;
當x∈(e-2,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減.
所以h(x)的最大值為h(e-2)=1+e-2.
故1-x-xlnx≤1+e-2.
設φ(x)=ex-(x+1).
因為φ′(x)=ex-1=ex-e0,
所以當x∈(0,+∞)時,φ′(x)>0,φ(x)單調遞增,
φ(x)>φ(0)=0.
故當x∈(0,+∞)時,φ(x)=ex-(x+1)>0,
即>1.
所以1-x-xlnx≤1+e-2<(1+e-2).
因此,對任意x>0,g(x)<1+e-2.
知識點:導數及其應用
題型:解答題