已知e是自然對數的底數，實數a是常數，函數f(x)＝ex－ax－1的定義域為(0，＋∞)．（1）設a＝e，求函...

問題詳情：

已知e是自然對數的底數，實數a是常數，函數f(x)＝ex－ax－1的定義域為(0，＋∞)． （1）設a＝e，求函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程； （2）判斷函數f(x)的單調*．

【回答】

（1）解：∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴當a＝e時，函數f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y＝－1. （2）解：∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上單調遞增． ∴當a≤1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增； 當a>1時，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna， ∴當0<x<lna時，f′(x)<0，當x>lna時，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增． 綜上，當a≤1時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當a>1時，f(x)在(0，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題