問題詳情:
如圖,已知一次函數y=kx+3的圖形經過點A (1, m),與x軸、y軸分別相交於B、C兩點,且∠ABO=45°,設點D的座標為(3,0)
(1) 求m的值;
(2) 聯結CD、AD,求△ACD的面積;
(3) 設點E為x軸上一動點,當∠ADC=∠ECD時,求點E的座標.
【回答】
(1)m=4;(2);(3)點E的座標為(,0)或(6,0).
【解析】
【分析】
(1)求出點B座標,利用待定係數法求出直線BC的解析式即可解決問題;
(2)根據進行計算即可;
(3)分點E在點D左側和點E在點D右側兩種情況,分別求出直線CE1和直線CE2的解析式即可得到對應的點E的座標.
【詳解】
解:(1)∵一次函數y=kx+3的圖象與x軸、y軸分別相交於B、C兩點,∠ABO=45°,
∴OB=OC=3,
∴B(-3,0),
將B(-3,0)代入y=kx+3得:0=-3k+3,
解得:k=1,
∴直線BC的解析式為:y=x+3,
當x=1時,y=x+3=4,
∴m=4;
(2)∵B(-3,0),C(0,3),D(3,0),A(1,4),
∴BD=6,
∴;
(3)如圖所示,當點E在點D左側時,
∵∠ADC=∠E1CD,
∴AD∥CE1,
設直線AD的解析式為:y=k1x+b(k≠0),
代入A(1,4),D(3,0)得:,解得:,
∴直線AD的解析式為:,
故設直線CE1的解析式為:,
代入C(0,3)得:,
∴直線CE1的解析式為:,
當y=0時,解得:,
∴E1(,0);
當點E在點D右側時,AD與CE2交於點F,
∵∠ADC=∠E2CD,
∴FC=FD,
∵OB=OD=3,∠ABO=45°,
∴∠CDB=45°,
∴∠ACD=45°+45°=90°,即∠ACF+∠FCD=90°,
∵∠CAF+∠FDC=90°,
∴∠ACF=∠CAF,
∴FC=FA,
∴F為線段AD的中點,
∴點F的座標為,
設直線CE2的解析式為:,
代入F得:,解得:,
∴直線CE2的解析式為:,
當y=0時,解得:,
∴E2(6,0),
綜上所述,點E的座標為(,0)或(6,0).
【點睛】
本題是一次函數與幾何綜合題,考查了待定係數法求函數解析式,一次函數的圖象和*質,等腰直角三角形的*質,三角形面積計算以及等腰三角形的判定和*質等知識,熟練掌握待定係數法,靈活運用數形結合的思想是解答本題的關鍵.
知識點:一次函數
題型:解答題