問題詳情:
如圖,直線AB:y=-x-b分別與x、y軸交於A(6,0)、B兩點,過點B的直線交x軸負半軸於點C,且OB:OC=3:1.
(1)求直線BC的解析式;
(2)如圖,P為A點右側x軸上的一動點,以P為直角頂點,BP為腰在第一象限內作等腰直角△BPQ,連接QA並延長交y軸於點K,當P點運動時,K點的位置是否發現變化?若不變,請求出它的座標;如果變化,請説明理由.
【回答】
(1)y=3x+6(2)K點的位置不發生變化,K(0,−6),理由見解析
【分析】
(1)設BC的解析式是y=ax+c,由直線AB:y=−x−b過A(6,0),可以求出b,因此可以求出B點的座標,再由已知條件可求出C點的座標,把B,C點的座標分別代入求出a和c的值即可;
(2)過Q作QH⊥x軸於H,首先*△BOP≌△PHQ,再分別*△AHQ和△AOK為等腰直角三角形,問題得解.
【詳解】
(1)由已知:0=−6−b,
∴b=−6,
∴AB:y=−x+6.
∴B(0,6),
∴OB=6,
∵OB:OC=3:1,
OC==2,
∴C(−2,0),
設BC的解析式是y=ax+c,代入得,
解得:,
∴直線BC的解析式是:y=3x+6;
(2)K點的位置不發生變化,K(0,−6).
過Q作QH⊥x軸於H,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=90°,PB=PQ,
∵∠BOA=∠QHA=90°,
∴∠BPO=∠PQH,
∴△BOP≌△PHQ,
∴PH=BO,OP=QH,
∴PH+PO=BO+QH,
即OA+AH=BO+QH,
又OA=OB,
∴AH=QH,
∴△AHQ是等腰直角三角形,
∴∠QAH=45°,
∴∠OAK=45°,
∴△AOK為等腰直角三角形,
∴OK=OA=6,
∴K(0,−6).
【點睛】
此題綜合考查了用待定係數法求一次函數的解析式、全等三角形的判定和全等三角形的*質,以及等腰直角三角形的判定和*質,解題的關鍵是正確求解析式以及藉助於函數圖象全面的分析問題.
知識點:一次函數
題型:解答題