已知正項數列{an}滿足Sn=.(1)求a1,a2,a3並推測an;(2)用數學歸納法*你的結論.

問題詳情：

已知正項數列{an}滿足Sn=.

(1) 求a1,a2,a3並推測an;

(2) 用數學歸納法*你的結論.

【回答】

(1) 由Sn=知

當n≥2時,=,

所以an=-,

整理得an-=-.

由S1=,即a1=,又a1>0,所以a1=1.

a2-=-=-(1+1)=-2,即+2a2+1=2.

所以a2=-1,a3-=-=-=-2,即+2a3+2=3,

所以a3=-,可推測an=-.

(2) ①由(1)知a1=1,滿足a1=-=1,

故當n=1時,an=-成立.

②假設n=k時,ak=-成立.

當n=k+1時,-=-=-2,

即+2+k=k+1,所以=-,即當n=k+1時,an=-.

由①②知數列{an}的通項公式為an=-,n∈N*.

知識點：推理與*

題型：解答題