已知橢圓的離心率是，其左、右頂點分別為、，為短軸的一個端點，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與軸交於，...

問題詳情：

已知橢圓的離心率是，其左、右頂點分別為、，為短軸的一個端點，的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與軸交於，是橢圓上異於、的動點，直線、分別交直線於、兩點，求*：為定值．

【回答】

考點：

直線與圓錐曲線的綜合問題．.

專題：

圓錐曲線中的最值與範圍問題．

分析：

（1）根據橢圓離心率是，其左、右頂點分別為A1，A2，B為短軸的端點，△A1BA2的面積為2，建立方程組，可求橢圓方程．

（2）A1（﹣2，0），A2（2，0）．設P（x0，y0），直線A1P的方程為y=（x+2），令x=2，得|DE|=，同理|DF|=，由此能求出|DE|•|DF|為定值1．

解答：

（1）解：由已知，可得，

解得a=2，b=．

故所求橢圓方程為．  

（2）由題意可得：A1（﹣2，0），A2（2，0）．設P（x0，y0），

由題意可得：﹣2＜x0＜2，

∴直線A1P的方程為y=（x+2），令x=2，

則y=，即|DE|=，

同理：直線BP的方程為y=（x﹣2），令x=2，

則y=，即|DF|=，

所以|DE|•|DF|=×==，

y02=4﹣x02，代入上式，得|DE|•|DF|=1，

故|DE|•|DF|為定值1．

點評：

本題考查橢圓方程的求法，考查|DE|•|DE|恆為定值的*，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題