問題詳情:
二次函數y=x2+px+q的頂點M是直線y=﹣和直線y=x+m的交點.
(1)若直線y=x+m過點D(0,﹣3),求M點的座標及二次函數y=x2+px+q的解析式;
(2)試*無論m取任何值,二次函數y=x2+px+q的圖象與直線y=x+m總有兩個不同的交點;
(3)在(1)的條件下,若二次函數y=x2+px+q的圖象與y軸交於點C,與x的右交點為A,試在直線y=﹣上求異於M的點P,使P在△CMA的外接圓上.
【回答】
【解答】解:(1)把D(0,﹣3)座標代入直線y=x+m中,
得m=﹣3,從而得直線y=x﹣3,
由M為直線y=﹣與直線y=x﹣3的交點,[來源:]
得,
解得,,
∴得M點座標為M(2,﹣1),
∵M為二次函數y=x2+px+q的頂點,
∴其對稱軸為x=2,
由對稱軸公式:x=﹣,得﹣=2,
∴p=﹣4;
由=﹣1,
=﹣1,
解得,q=3.
∴二次函數y=x2+px+q的解析式為:y=x2﹣4x+3;
(2)∵M是直線y=﹣和y=x+m的交點,
∴,
解得,,
∴M點座標為M(﹣,),
∴﹣=﹣、=,
解得,p=,q=+,
由,得x2+(p﹣1)x+q﹣m=0,
△=(p﹣1)2﹣4(q﹣m)
=(﹣1)2﹣4(+﹣m)=1>0,
∴二次函數y=x2+px+q的圖象與直線y=x+m總有兩個不同的交點;
(3)由(1)知,二次函數的解析式為:y=x2﹣4x+3,
當x=0時,y=3.
∴點C的座標為C(0,3),
令y=0,即x2﹣4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
∴點A的座標為A(3,0),
由勾股定理,得AC=3.
∵M點的座標為M(2,﹣1),
過M點作x軸的垂線,垂足的座標應為(2,0),
由勾股定理得,AM=,
過M點作y軸的垂線,垂足的座標應為(0,﹣1),
由勾股定理,得CM===2.
∵AC2+AM2=20=CM2,
∴△CMA是直角三角形,
CM為斜邊,∠CAM=90°.
直線y=﹣與△CMA的外接圓的一個交點為M,另一個交點為P,
則∠CPM=90°.即△CPM為Rt△,
設P點的橫座標為x,則P(x,﹣).過點P作x軸垂線,
過點M作y軸垂線,兩條垂線交於點E,則E(x,﹣1).
過P作PF⊥y軸於點F,則F(0,﹣).
在Rt△PEM中,PM2=PE2+EM2
=(﹣+1)2+(2﹣x)2=﹣5x+5.
在Rt△PCF中,PC2=PF2+CF2=x2+(3+)2
=+3x+9.
在Rt△PCM中,PC2+PM2=CM2,
得+3x+9+﹣5x+5=20,
化簡整理得5x2﹣4x﹣12=0,
解得x1=2,x2=﹣.
當x=2時,y=﹣1,即為M點的橫、縱座標.
∴P點的橫座標為﹣,縱座標為,
∴P(﹣,).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題