問題詳情:
在平面直角座標,直線l:y=x﹣3經過橢圓E:(a>b>0)的一個焦點,且點(0,b)到直線l的距離為2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)A、B、C是橢圓上的三個動點A與B關於原點對稱,且|AC|=|CB|.問△ABC的面積是否存在最小值?若存在,求此時點C的座標;若不存在,説明理由.
【回答】
【考點】KH:直線與圓錐曲線的綜合問題.
【分析】(1)先求出c,再利用點(0,b)到直線l的距離為2,求出b,從而可求a,即可得出橢圓E的方程;
(2)分類討論,直線AB的斜率存在且不為0時,設AB:y=kx,代入橢圓方程,求出A的座標,同理求出C的座標,表示出面積,利用基本不等式,即可得出結論.
【解答】解:(1)對於直線l:y=x﹣3,令y=0,可得x=,
∴焦點為(,0),
∴c=,
∵點(0,b)到直線l的距離為2,
∴=2,
∵b>0,
∴b=1,
∴a=2,
∴橢圓E的方程;
(2)①當AB為長軸(或短軸)時,由題意,C是橢圓的上下頂點(或左右頂點),;
②當直線AB的斜率存在且不為0時,設AB:y=kx,代入橢圓方程,可得,
∵|AC|=|CB|,O為AB的中點,
∴OC⊥AB,
∴直線OC的方程為y=﹣,
同理可得,
∴,,
∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=,
若且唯若1+4k2=4+k2,即k=±1時取等號,
∴k=±1時,△ABC的面積最小值,
此時,C(,±)或C(﹣,±).
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題