問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)與y軸的交點為A,與x軸的交點分別為B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直線AD∥x軸,在x軸上有一動點E(t,0)過點E作平行於y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當0<t≤8時,求△APC面積的最大值;
(3)當t>2時,是否存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請説明理由.
【回答】
)
解:(1)由題意知xx2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的兩根,
∴x1+x2=8, 由 解得:
∴B(2,0)、C(6,0) 則4m﹣16m+4m+2=0, 解得:m=,
∴該拋物線解析式為:y=;…………(2分)
(2)可求得A(0,3) 設直線AC的解析式為:y=kx+b,
∵ ∴ ∴直線AC的解析式為:y=﹣x+3,
要構成△APC,顯然t≠6,分兩種情況討論:
①當0<t<6時,設直線l與AC交點為F,則:F(t,﹣),
∵P(t,),∴PF=,
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
==, 此時最大值為:,…………(5分)
②當6≤t≤8時,設直線l與AC交點為M,則:M(t,﹣),
∵P(t,),∴PM=,
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
==, 當t=8時,取最大值,最大值為:12,
綜上可知,當0<t≤8時,△APC面積的最大值為12;…………(8分)
(3)
∴t=或t=或t=14.…………(11分)
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題