設橢圓（）的左右頂點為，上下頂點為，菱形的內切圓的半徑為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上...

問題詳情：

設橢圓（）的左右頂點為，上下頂點為，菱形的內切圓的半徑為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上關於原點對稱的兩點，橢圓上一點滿足，試判斷直線與圓的位置關係，並*你的結論.

【回答】

（1） （2）直線、與圓相切，*見解析

【解析】

（1）由離心率得，用兩種方法表示出菱形的面積可求得，得橢圓方程；

（2）設，.當直線的斜率存在時，設直線的方程為，代入橢圓方程，用韋達定理得，利用，即得的關係，求出圓心到直線的距離可得直線與圓的位置關係．直線的斜率不存在時，直接計算可得，由對稱*的結論也可得．

【詳解】（1）設橢圓的半焦距為.由橢圓的離心率為知，.

設圓半徑為，則，

∴，解得，∴，

∴橢圓的方程為

（2）∵關於原點對稱，，∴.

設，.

當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

由直線和橢圓方程聯立得，即，

∴.

∵，，

∴

，

∴，，

∴圓的圓心O到直線的距離為，∴直線與圓相切.

當直線的斜率不存在時，依題意得，.

由得，∴，結合得，

∴直線到原點O的距離都是，

∴直線與圓也相切.

同理可得，直線與圓也相切.

∴直線、與圓相切

【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交問題，考查直線與圓的位置關係．直線與橢圓相交，一般採取設而不求思想，即設交點座標，設直線方程，由直線方程與橢圓方程聯立，消元后用韋達定理得，把這個結論代入其他條件求解．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題