若函數f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．(1)要使f(x)≥0恆成立，求t的最小值；(...

問題詳情：

若函數f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．

(1)要使f(x)≥0恆成立，求t的最小值；

(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值範圍．

【回答】

 (1)因為x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恆成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恆成立，等價於t≥ (x＞0)恆成立，

由

若且唯若x＝，即x＝12時，等號成立，

所以當t≥30時，不等式tx2－(22t＋60)x＋144t≥0恆成立，t的最小值為30.

(2)由t＞20，得＞20，整理得x2－25x＋144＜0，即(x－16)(x－9)＜0，解得9＜x＜16，

所以使t＞20成立的x的取值範圍為(9，16).

知識點：函數的應用

題型：解答題