已知橢圓＋＝1，左頂點為A，右準線與x軸的交點為B，點P為橢圓右準線上且在第一象限內的點，直線AP交橢圓於點Q...

問題詳情：

已知橢圓＋＝1，左頂點為A，右準線與x軸的交點為B，點P為橢圓右準線上且在第一象限內的點，直線AP交橢圓於點Q，連接BQ．

（1）當＝2時，求*：直線BQ與橢圓只有一個公共點；

（2）過點P與直線BQ垂直的直線l在y軸上的截距為t，當t最大時，求直線AP的方程．

【回答】

（1）由題意知，右準線方程為x＝4．

設P(4，m)，因為＝2，即Q為AP中點，因為A(—2，0)，所以點Q(1，)，代入橢圓方程得＋()2＝1，解得m＝±3（負值捨去），所以Q(1，)．

又B(4，0)，所以直線BQ方程為y＝－(x－4)，聯立直線與橢圓方程得消去y，得x2－2x＋1＝0，該方程有兩個相等的實根，所以直線與橢圓只有一個公共點．

（2）AP方程為y＝k(x＋2)(k＞0)，則點P座標為(4，6k)，聯立直線與橢圓方程消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2―12＝0．設方程兩根為x1，x2，由題意知x1＝―2，因為x1x2＝，因此x2＝，代入直線方程得y2＝，即Q(，)，則直線BQ的斜率為kBQ＝－，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－6k ＝ (x―4)．令x＝0，得y＝－(＋2k)≤－2＝－4（若且唯若k＝1時取“＝”號），

此時直線AP方程為y＝x＋2．

【説明】考查直線與橢圓的位置關係及解幾中的最值問題．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題