問題詳情:
已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點A(3,0),且與圓O相切.
(1)求直線l1的方程;
(2)設圓O與x軸交於P,Q兩點,M是圓O上異於P,Q的任意一點,過點A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2於點P′.直線QM交直線l2於點Q′.求*:以P′Q′為直徑的圓C總過定點,並求出定點座標.
【回答】
解析:(1)由題意可知,直線l的斜率顯然存在.
因為直線l1過點A(3,0),所以設直線l1的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,則圓心O(0,0)到直線l1的距離為d==1,
解得k=±.
所以直線l1的方程為y=±(x-3),
即x+4y-3=0或x-4y-3=0.
(2)在圓O的方程x2+y2=1中,
令y=0得x=±1,
即P(-1,0),Q(1,0).又直線l2過點A與x軸垂直,
所以直線l2的方程為x=3,設M(s,t),則直線PM的方程為y=(x+1).
解方程組
得P′(3,).
同理可得Q′(3,).
以P′Q′為直徑的圓C的方程為(x-3)·(x-3)+(y-)(y-)=0,
又s2+t2=1,
所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,
若圓C經過定點,則y=0,
從而有x2-6x+1=0,
解得x=3±2,
所以圓C總經過的定點座標為(3±2,0).
知識點:圓與方程
題型:解答題