問題詳情:
已知是橢圓與拋物線的一個公共點,且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點.
(1)求橢圓及拋物線的方程;
(2)設過且互相垂直的兩動直線,與橢圓交於兩點,與拋物線交於兩點,求四邊形面積的最小值
【回答】
(Ⅰ)橢圓的方程為,拋物線的方程為;(Ⅱ)見解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根據是橢圓:()與拋物線:的一個公共點,可求得,從而可得相同的焦點的座標,結合,即可求得與,從而可得橢圓及拋物線的方程;(Ⅱ)由題可知直線斜率存在,設直線的方程,,當時,求出,當時,直線的方程為,結合韋達定理及弦長公式求得及,表示出,通過換元及二次函數思想即可求得四邊形面積的最小值.
【詳解】
(Ⅰ)拋物線:一點
,即拋物線的方程為,
又在橢圓:上
,結合知(負舍), ,
橢圓的方程為,拋物線的方程為.
(Ⅱ)由題可知直線斜率存在,設直線的方程,
①當時,,直線的方程,,故
②當時,直線的方程為,由得.
由弦長公式知.
同理可得.
.
令,則,當時,,
綜上所述:四邊形面積的最小值為8.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題