如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三點．（1）求拋物線的解析式...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）反比例函數y=

k

x

的圖象的一個分支經過點C，並且另個分支與拋物線在第一象限相交．①求出k的值；②反比函數y=

k

x

的圖象是否經過點A和點B，試説明理由；③若點P（a，b）是反比例函數y=

k

x

在第三象限的圖象上的一個動點，連接AB、PA、PB，請問是否存在這樣的一點P使△PAB的面積為3？如果存在，試求出所有符合條件的點P的座標；如果不存在，請説明理由．
試題*
練習冊*
在線課程
分析：（1）根據待定係數法將A，B，C三點座標代入拋物線y=ax2+bx+c中，即可求得拋物線的解析式；（2）①根據C點的座標即可求出反比例函數的解析式y=

2

x

；②由k的值等於2，若A，B兩點的橫縱座標相乘等於2，則反比例函數就經過該點．③直接求△PAB的面積不容易，可以過P作PE∥x軸，作AD⊥PE於D，BE⊥PE於E，先求出四邊形ABEP的面積，再減去△BPE的面積，即得△PAB的面積，令其等於3，即可求得滿足條件的點P．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三點∴

a+b+c=2 4a+2b+c=1 4a-2b+c=-1

解得：

a=- 1 2 b= 1 2 c=2

（2分）∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

1

2

+2（3分）（2）①反比例函數y=

k

x

的圖象的一個分支經過點C（-2，-1）∴k=（-2）×（-1）=2（5分）②由①知k的值為2，所以反比例函數的解析式為y=

2

x

，∵1×2=2=k，∴點A（1，2）在反比例函數y=

2

x

的圖象上，同理點B（2，1）也在反比例函數y=

2

x

的圖象上，即反比函數y=

k

x

的圖象經過點A和點B，（8分）③存在（9分）設點P的座標為（a，b）因為點P（a，b）在y=

2

x

上，所以點P的座標為（a，

2

a

）作PE∥x軸，作AD⊥PE，BE⊥PE，垂足分別為D、E．則PD=-a+1，PE=-a+2，AD=-

2

a

+2，BE=-

2

a

+1（10分）∴S△ADP=

1

2

AD•PD=

1

2

（-

2

a

+2）（-a+1）=-a-

1

a

+2∴S梯形ABED=

1

2

（AD+BE）•DE=

3

2

-

2

a

∴S△BPE=

1

2

PE•BE=-

1

2

a-

2

a

+2∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-

1

2

a-

1

a

+

3

2

（12分）若△PAB的面積為3則-

1

2

a-

1

a

+

3

2

=3∴a2+3a+2=0∴a1=-1，a2=-2經檢驗a1=-1，a2=-2都是方程-

1

2

a-

1

a

+

3

2

=3的解所以點P的座標為（-1，-2）或（-2，-1）（13分）
點評：本題主要考查了待定係數法求反比例函數的解析式，同時在求解三角形的面積時，要靈活的運用割補法進行求解．

【回答】

分析：（1）根據待定係數法將A，B，C三點座標代入拋物線y=ax2+bx+c中，即可求得拋物線的解析式；（2）①根據C點的座標即可求出反比例函數的解析式y=

2

x

；②由k的值等於2，若A，B兩點的橫縱座標相乘等於2，則反比例函數就經過該點．③直接求△PAB的面積不容易，可以過P作PE∥x軸，作AD⊥PE於D，BE⊥PE於E，先求出四邊形ABEP的面積，再減去△BPE的面積，即得△PAB的面積，令其等於3，即可求得滿足條件的點P．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三點∴

a+b+c=2 4a+2b+c=1 4a-2b+c=-1

解得：

a=- 1 2 b= 1 2 c=2

（2分）∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

1

2

+2（3分）（2）①反比例函數y=

k

x

的圖象的一個分支經過點C（-2，-1）∴k=（-2）×（-1）=2（5分）②由①知k的值為2，所以反比例函數的解析式為y=

2

x

，∵1×2=2=k，∴點A（1，2）在反比例函數y=

2

x

的圖象上，同理點B（2，1）也在反比例函數y=

2

x

的圖象上，即反比函數y=

k

x

的圖象經過點A和點B，（8分）③存在（9分）設點P的座標為（a，b）因為點P（a，b）在y=

2

x

上，所以點P的座標為（a，

2

a

）作PE∥x軸，作AD⊥PE，BE⊥PE，垂足分別為D、E．則PD=-a+1，PE=-a+2，AD=-

2

a

+2，BE=-

2

a

+1（10分）∴S△ADP=

1

2

AD•PD=

1

2

（-

2

a

+2）（-a+1）=-a-

1

a

+2∴S梯形ABED=

1

2

（AD+BE）•DE=

3

2

-

2

a

∴S△BPE=

1

2

PE•BE=-

1

2

a-

2

a

+2∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-

1

2

a-

1

a

+

3

2

（12分）若△PAB的面積為3則-

1

2

a-

1

a

+

3

2

=3∴a2+3a+2=0∴a1=-1，a2=-2經檢驗a1=-1，a2=-2都是方程-

1

2

a-

1

a

+

3

2

=3的解所以點P的座標為（-1，-2）或（-2，-1）（13分）
點評：本題主要考查了待定係數法求反比例函數的解析式，同時在求解三角形的面積時，要靈活的運用割補法進行求解．

知識點：

題型：