已知橢圓：的左焦點為，上頂點為，長軸長為，為直線：上的動點，，.當時，與重合.（1）若橢圓的方程；（2）若直線...

問題詳情：

已知橢圓：的左焦點為，上頂點為，長軸長為，為直線：上的動點，，.當時，與重合.

（1）若橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓於，兩點，若，求的值.

【回答】

解：

（Ⅰ）依題意得A(0，b)，F(－c，0)，當AB⊥l時，B(－3，b)，

由AF⊥BF得kAF·kBF＝·＝－1，又b2＋c2＝6.

解得c＝2，b＝．

所以，橢圓Γ的方程為＋＝1．                                 …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0，)，依題意，顯然m≠0，所以kAM＝－，

又AM⊥BM，所以kBM＝，所以直線BM的方程為y＝(x－m)，

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

y＝(x－m)與＋＝1聯立得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，

x1＋x2＝，x1x2＝．                                  …7分

|PM|·|QM|＝(1＋)|(x1－m)(x2－m)|

＝(1＋)|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|

＝(1＋)·

＝，

|AM|2＝2＋m2，                                                   …9分

由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，

所以＝1，解得m＝±1．                                    …12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題