如圖：AB是⊙O的直徑，AC交⊙O於G，E是AG上一點，D為△BCE內心，BE交AD於F，且∠DBE=∠BAD...

問題詳情：

如圖：AB是⊙O的直徑，AC交⊙O於G，E是AG上一點，D為△BCE內心，BE交AD於F，且∠DBE=∠BAD．

（1）求*：BC是⊙O的切線；

（2）求*：DF=DG；

（3）若∠ADG=45°，DF=1，則有兩個結論：①AD•BD的值不變；②AD+BD的值不變，其中有且只有一個結論正確，請選擇正確的結論，*並求其值．

【回答】

【解答】（1）*：∵D為△BCE內心，

∴∠DBC=∠DBE，

∵∠DBE=∠BAD．

∴∠DBC=∠BAD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）*：如圖1，連接DE，

∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，

∴∠DBE=∠BAD，

∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，

∴∠BFD=∠ABD，

∵∠DGC=∠ABD，

∴∠BFD=∠DGC，

∴∠DFE=∠DGE，

∵D為△BCE內心，

∴∠DEG=∠DEB，

在△DEF和△DEG中

∴△DEF≌△DEG（AAS），

∴DF=DG；

（3）解：①AD﹣BD的值不變；

如圖2，在AD上截取DH=BD，連接AH、BG，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠AGB=90°，

∵∠ADG=45°，

∴∠ABG=∠ADG=45°，

∴AB=BG，

∵∠BDH=90°，BD=DH，

∴∠BHD=45°，

∴∠AHB=180°﹣45°=135°，

∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°，

∴∠AHB=∠BDG，

∵∠BAD=∠BGD，

∴△ABH∽△GBD，

∴==，

∵DG=1，

∴AH=，

∵AD﹣BD=AD﹣DH=AH，

∴AD﹣BD=．

知識點：相似三角形

題型：綜合題