如圖,在平面直角座標系xOy中,O為座標原點,直線y=－x＋4與x軸交於點A,與y軸交於點B.(Ⅰ)求點A,B...

問題詳情：

如圖,在平面直角座標系xOy中,O為座標原點,直線y=－x＋4與x軸交於點A,與y軸交於點B. (Ⅰ)求點A,B的座標; (Ⅱ)在直線AB上是否存在點P,使△OAP是以OA為底邊的等腰三角形？若存在,求出點P的座標;若不存在,請説明理由. (Ⅲ)若將Rt△AOB摺疊,使OB邊落在AB上,點O與點D重合,摺痕為BC,求摺痕BC所在直線的解析式.

         第1題圖

【回答】

解:(Ⅰ)在y=－x＋4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4, ∴A(4,0),B(0,4); (Ⅱ)如解圖①,作線段OA的垂直平分線,交x軸於點E,交AB於點P, 則OP=PA,即P點即為滿足條件的點, ∵OA=4, ∴OE=2, 在y=－x＋4中,當x=2時,可得y=2, ∴P點座標為(2,2); (Ⅲ)如解圖②, 設C(t,0),則AC=OA－OC=4－t, ∵OA=OB=4, ∴AB=4, 由摺疊的*質可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90°, ∴AD=AB－BD=4－4, 在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2=AD2＋CD2,即(4－t)2=t2＋(4－4)2,解得t=4－4, ∴C(4－4,0), 設直線BC解析式為y=kx＋b, ∴,

解得, ∴摺痕BC的解析式為y=－(1＋)x＋4.

   圖①           圖②

       第1題解圖                  

知識點：勾股定理

題型：解答題