問題詳情:
已知橢圓:的左、右焦點分別為,右頂點為,且過點,圓是以線段為直徑的圓,經過點且傾斜角為的直線與圓相切.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)是否存在直線,使得直線與圓相切,與橢圓交於兩點,且滿足?若存在,請求出直線的方程,若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)由題意知,,,圓的方程為
由題可知,解得 ,
所以橢圓的方程為,圓的方程為.
(2)假設存在直線滿足題意.
由,可得,故.
(ⅰ)當直線的斜率不存在時,此時的方程為.
當直線時,可得
所以.
同理可得,當時,.
故直線不存在.
(ⅱ)當直線的斜率存在時,設方程為,
因為直線與圓相切,
所以,整理得①
由消去y整理得,
設,則,,
因為,所以,
則,即,所以,
所以,整理得②
由①②得,此時方程無解.
故直線不存在.
由(i)(ii)可知不存在直線滿足題意.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題