已知函數f(x)＝xlnx.(1)若函數g(x)＝f(x)＋x2＋ax＋2有零點，求實數a的最大值；(2)若∀...

問題詳情：

已知函數f(x)＝xln x.

(1)若函數g(x)＝f(x)＋x2＋ax＋2有零點，求實數a的最大值；

(2)若∀x>0，≤x－kx2－1恆成立，求實數k的取值範圍．

【回答】

 (1)由題知，g(x)＝xln x＋x2＋ax＋2＝0在(0，＋∞)上有實根，

即：－a＝ln x＋x＋在(0，＋∞)上有實根，

令φ(x)＝ln x＋x＋，則φ′(x)＝＋1－＝＝ (x＋2)(x－1)，

易知，φ(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，所以，－a≥φ(x)max＝φ(1)＝3，a≤－3.

(2)依題意≤x－kx2－1，kx2≤x－1－ln x，x>0.

所以k≤ (x－1－ln x)

設g(x)＝x－1－ln x，x>0，g′(x)＝1－，

當0<x<1時g′(x)<0，

當x>1時g′(x)>0，所以∀x>0，g(x)≥g(1)＝0.

所以， (x－1－ln x)≥0，

∴k≤0，即k的取值範圍是(－∞，0]．

知識點：導數及其應用

題型：解答題