）在直角座標系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a＞0）交於M，N兩點．（Ⅰ）當k=0時，分別求C...

問題詳情：

）在直角座標系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a＞0）交於M，N兩點．

（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程．

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？（説明理由）

【回答】

【分析】（I）聯立，可得交點M，N的座標，由曲線C：y=，利用導數的運算法則可得：y′=，利用導數的幾何意義、點斜式即可得出切線方程．

（II）存在符合條件的點（0，﹣a），設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2．直線方程與拋物線方程聯立化為x2﹣4kx﹣4a=0，利用根與係數的關係、斜率計算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直線PM，PN的傾斜角互補⇔∠OPM=∠OPN．即可*．

【解答】解：（I）聯立，不妨取M，N，

由曲線C：y=可得：y′=，

∴曲線C在M點處的切線斜率為=，其切線方程為：y﹣a=，化為．

同理可得曲線C在點N處的切線方程為：．

（II）存在符合條件的點（0，﹣a），下面給出*：

設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2．

聯立，化為x2﹣4kx﹣4a=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．

∴k1+k2=+==．

當b=﹣a時，k1+k2=0，直線PM，PN的傾斜角互補，

∴∠OPM=∠OPN．

∴點P（0，﹣a）符合條件．

【點評】本題考查了導數的運算法則、利用導數的幾何意義研究切線方程、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與係數的關係、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題．

知識點：導數及其應用

題型：綜合題