問題詳情:
如圖,以D為頂點的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸於A、B兩點,交y軸於點C,直線BC的表達式為y=﹣x+3.
(1)求拋物線的表達式;
(2)在直線BC上有一點P,使PO+PA的值最小,求點P的座標;
(3)在x軸上是否存在一點Q,使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請求出點Q的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P ( ,);(3)當Q的座標為(0,0)或(9,0)時,以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似.
【解析】
(1)先求得點B和點C的座標,然後將點B和點C的座標代入拋物線的解析式得到關於b、c的方程,從而可求得b、c的值;(2)作點O關於BC的對稱點O′,則O′(3,3),則OP+AP的最小值為AO′的長,然後求得AO′的解析式,最後可求得點P的座標;(3)先求得點D的座標,然後求得CD、BC、BD的長,依據勾股定理的逆定理*△BCD為直角三角形,然後分為△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB兩種情況求解即可.
【詳解】
(1)把x=0代入y=﹣x+3,得:y=3,
∴C(0,3).
把y=0代入y=﹣x+3得:x=3,
∴B(3,0),A(﹣1,0).
將C(0,3)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c得: ,解得b=2,c=3.
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)如圖所示:作點O關於BC的對稱點O′,則O′(3,3).
∵O′與O關於BC對稱,
∴PO=PO′.
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′.
∴OP+AP的最小值=O′A==5.
O′A的方程為y=
P點滿足解得:
所以P ( ,)
(3)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴D(1,4).
又∵C(0,3,B(3,0),
∴CD=,BC=3,DB=2.
∴CD2+CB2=BD2,
∴∠DCB=90°.
∵A(﹣1,0),C(0,3),
∴OA=1,CO=3.
∴.
又∵∠AOC=DCB=90°,
∴△AOC∽△DCB.
∴當Q的座標為(0,0)時,△AQC∽△DCB.
如圖所示:連接AC,過點C作CQ⊥AC,交x軸與點Q.
∵△ACQ為直角三角形,CO⊥AQ,
∴△ACQ∽△AOC.
又∵△AOC∽△DCB,
∴△ACQ∽△DCB.
∴,即,解得:AQ=10.
∴Q(9,0).
綜上所述,當Q的座標為(0,0)或(9,0)時,以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似.
【點睛】
本題考查了二次函數的綜合應用,解題的關鍵是掌握待定係數法求二次函數的解析式、軸對稱圖形的*質、相似三角形的*質和判定,分類討論的思想.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題