設函數f(x)＝ax3－3x2(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的極值點．(1)求實數a的值，並求函數的單調區...

問題詳情：

設函數f(x)＝ax3－3x2 (a∈R)，且x＝2是y＝ f(x)的極值點．

(1)求實數a的值，並求函數的單調區間；

(2)求函數g(x)＝ex·f(x)的單調區間．

【回答】

解　(1)f(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，因為x＝2是函數y＝f(x)的極值點，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，

因此a＝1.

經驗*，當a＝1時，x＝2是函數y＝f(x)的極值點．

所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

所以y＝f(x)的單調增區間是(－∞，0)，(2，＋∞)；

單調減區間是(0,2)．

(2)g(x)＝ex(x3－3x2)，g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex，

因為ex>0，所以y＝g(x)的單調增區間是(－，0)，(，＋∞)；單調減區間是(－∞，－)，(0，)．

知識點：導數及其應用

題型：解答題