問題詳情:
如圖,點A(1,)為橢圓+=1上一定點,過點A引兩直線與橢圓分別交於B,C兩點.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線AB,AC與x軸圍成的是以點A為頂點的等腰三角形.
①求直線BC的斜率;
②求△ABC的面積的最大值,並求出此時直線BC的方程.
【回答】
解 (1)把點A(1,)代入+=1得n=6,故橢圓方程為+=1. …………2分
(2)①顯然題中等腰三角形腰所在的直線不可能與x軸垂直.
因此其斜率必存在,設兩腰的斜率分別為k1,k2,
消去y,得(3+k)x2+2k1(-k1)x+(-k1)2-6=0,
∴點B的橫座標為x=1- (x=1為點A的橫座標),
∴點B的縱座標為y=-,
即 ………………6分
同理可得點C的座標為C.
∵k1+k2=0,∴直線BC的斜率為kBC=. ………………8分
②設B(x1,y1),C(x2,y2),直線BC的方程為y=x+m,代入方程+=1得6x2+2mx+m2-6=0,
∴x1+x2=-m,x1x2=,
∴BC=·|x1-x2|=2·,
又點A到直線BC的距離為d=,
∴S△ABC=BC·d=
∴當m2=6,即m=或m=-時,△ABC面積取得最大值.
此時,直線BC的方程為y=x±. ………………16分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題